Come è noto, il paradosso si risolve dimostrando che la sommatoria sum (i=1 to infinito) 1/n^1 con n>1 è una serie convergente, ossia tende ad un valore finito.
Giusto per la precisione: immagino che tu intendessi scrivere
sum (i=1 to infinito) 1/n^
i con n>1
cioe' la serie geometrica. Cosi' come l'hai scritta, e' di nuovo la serie armonica, che, come spiegato da Hon-ki-ton, non converge.
in una serie infinita di passi che si dimezzano ogni volta.
Se ben ricordo, non e' Achille che dimezza la lunghezza dei suoi passi, bensi Zenone che calcola la distanza percorsa da Achille (che corre a velocita' costante) in unita' di tempo ognuna la meta' della precedente.
Per quanto ne capisco, il punto fondamentale del paradosso di Zenone riguarda la delicata questioni dei modelli concettuali che possiamo costruire del mondo fisico (in genere, tramite la matematica, vista la poverta' degli altri mezzi a nostra disposizione).
Zenone costruisce un modello dove il movimento e' impossibile, perche' assume di poter dividere infinitamente il tempo in unita' sempre piu' piccole, ma non accetta la possibilita' di convergenza di una serie infinita. Il modello usato nei corsi elementari di fisica si basa sui numeri cosiddetti "reali", una
costruzione, raffinata dai matematici in qualche secolo di lavoro, dove un calcolo banale permette di vedere che la serie converge risolvendo il paradosso. Non mi e' chiaro quanto questo modello sia compatibile con la fisica quantistica (dove, per quanto mi sembra di capire, non ha molto senso dividere all'infinito): so vagamente che negli ultimi venti o trent'anni e' stato proposto l'uso di modelli matematici "non del tutto archimedei" (si noti che in un modello non-archimedeo non e' detto che una serie come 1/2+1/4+1/8+1/16+... converga ad un valore finito; cosi' com'e' non e' detto che 2+4+8+16+... abbia un valore infinito).
Sulla questione della lumaca e dell'elastico,
Senza stare a fare i calcoli su quanto veramente ci mette, quale ragionamento ci permette di affermare questo?
Di primo acchito avevo pensato ad uno dei "paradossi" che si risolvono confrontando valori "infiniti", tipo
l'albergo di Hilbert. Ma pensandoci meglio direi che e' un problemino di altro tipo, dove la reale difficolta' e' di tipo psicologico - cioe', siamo tentati di fare i conti con un modello sbagliato
(l'allungarsi dell'elastico non e' uniforme su tutta la sua lunghezza), mentre quello corretto
prevede che quando l'elastico si allunga anche il punto dove sta la lumaca si allontana dall'estremo fissato al muro. Quindi si tratterebbe di un grazioso esempio di
relativita' galileiana; non ho voglia di fare il calcolo, ma con quest'impostazione non mi e' difficile credere che la lumachina possa raggiungere l'altro estremo dell'elastico.
Dio onnipotente può creare un masso tanto grande che neanche Lui riesce a sollevare?
L'unica possibile soluzione di questo paradosso è che Dio non esista
Mi sembra che il punto sia semplicemente che il termine "onnipotente" non e' ben definito: questo paradosso ci mostra la cautela con cui dobbiamo usare le parole;
Bertrand Russel ci aveva gia' insegnato qualcosa in proposito. Quanto a Dio, suppongo che debba esistere in quanto "Dio e' un sistema dinamico non-archimedeo" (non ho resistito alla tentazione di citare il titolo d'un capitolo d'un libro che avevo sfogliato brevemente anni fa: appunto uno di quei testi in cui si propone l'uso in fisica dei numeri non-archimedei, cui accennavo sopra).
Personalmente avevo incontrato per la prima volta una versione di questo paradosso sull'onnipotenza in qualche storia pippesca (una di quelle conferenze di un Pippo in tocco e toga di fronte ad un pubblico di pippidi); naturalmente li' il termine "Dio" era stato sostituito (mi sembra rimpiazzato da "uno stregone indiano che puo' tutto").
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