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So che ci sono molti filosofi tra noi, giusto?

Bene, chi di voi riesce a darmi una risposta completa e totale alla questione di Zenone su Achille e la tartaruga, che non mi è mai stata chiara?

Riassumo la teoria del filosofo greco Zenone. Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga avanti a sé di un solo passo, perché nel tempo che Achille impiegherà a fare quel passo la tartaruga si sarà spostata di ancora un poco; e nel tempo che Achille impiegherà a percorrere questa prima distanza fatta dall'animale dal primo passo, la tartaruga si sposterà di un altro po'; e mentre Achille percorrerà questo nuovo pezzettino più corto, la tartaruga si sposterà ancora e così via, senza mai raggiungerla.

Insomma, Zenone fu il primo a capire che 2 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ecc, sino all'infinito, e da qui lode matematica, secondo alcuni.

Ma perché Achille deve sempre ridurre il suo passo, e non farne uno della sua lunghezza abituale, così in due passi ha persino superato quel maledettissimo animale corazzato?!?

Cavolo i neuroni non reagiscono!
Ma non era che il passo di Achille è costante ma è il passetto della tartaruga che sballa tutto?

Cavolo i neuroni non reagiscono!
Ma non era che il passo di Achille è costante ma è il passetto della tartaruga che sballa tutto?

Proprio perché il passo d'Achille è costante e quello della tartaruga si riduce via via il Greco dovrebbe riprenderla in due passi normali e andarle oltre, no?

Mai capita, davvero: se qualcuno mi aiutasse una volta per tutte...

Ma non era costante anche il passo della tartaruga?

Insomma, qui ci vorrebbe il mitico Pippo Enciclopedico, Unico, Massimo e Inimitabile di Io So (Quasi) Tutto...!!!
Mannaggia pkthebest, la risposta alla tua domanda è che... è un paradosso sulla illusione del moto!!!
Alla quale Diogene rispondeva semplicemente camminando...

Non ho capito se la domanda era seria o ironica, ma provo a rispondere seriamente.

Nel paradosso di Zenone non si parla di passi. Il paradosso afferma che nel tempo t che Achille impiega a raggiungere il punto in cui si trovava la tartaruga al momento t0, la tartaruga ha comunque avuto modo di avanzare di uno spazio pari a t*v, dove v è la velocità, piccola ma non nulla, della tartaruga.

Il paradosso funziona (o meglio, sembra funzionare, finché non si tirano in ballo le serie infinite che possono dare un risultato finito) se il movimento di entrambi, Achille e Tartaruga, è considerato come completamente uniforme e continuo, e non a "scatti" o "passi".

Come è noto, il paradosso si risolve dimostrando che la sommatoria sum (i=1 to infinito) 1/n^i con n>1 è una serie convergente, ossia tende ad un valore finito.
Il tempo impiegato da Achille a raggiungere la tartaruga si calcola proprio con una sommatoria di questo tipo, e quindi non è infinito.

Per curiosità, se pensate che il paradosso di Achille e la tartaruga sia complicato, non avete mai sentito quello della lumaca sull'elastico :o

Diciamo che Zenone era molto furbo.

Ah, beh, se la si vede solo come un paradosso, devo smettermela di farmi problemi! Oh, avevo nove in filosofia, ma questa mi è sempre stata astrusa per la sua totale irrealtà.

Ma, a questo punto, l'altra domanda ironica e semiseria: ma Zenone cosa ci guadagnava con questa enorme scemenza?!? Voglio dire, egli stesso si sarà accorto che si muoveva ogni tanto, sulle sue stesse gambe! Metti che sua moglie lo rincorreva col matterello: vuoi scommettere che le sue certezze sulla sua irraggiungibilità sarebbero presto crollate?

E quale sarebbe il paradosso della lumaca sull'elastico, Briggi, per cortesia?

Intanto ne passo un altro dell'omonimo Zenone secondo: cosa succede quando una forza inarrestabile viene scagliata contro una massa inamovibile? Ma Zenone secondo non trovò risposta se non che nessuno lo sa...

Io invece vi propongo questo: Dio onnipotente può creare un masso tanto grande che neanche Lui riesce a sollevare?

E quale sarebbe il paradosso della lumaca sull'elastico, Briggi, per cortesia?

Più che un paradosso è un problema matematico - di cui io NON so la soluzione, anche se il "perché teorico" del perché una soluzione debba esistere mi è abbastanza chiaro.

Allora, supponiamo di avere un elastico allungabile all'infinito.

All'inizio questo elastico è lungo un metro, con una estremità fissata al muro e l'altra libera che punta verso l'infinito ed oltre .
Sulla estremità vicina al muro c'è una lumachina, immaginatevela con indosso occhiali e casco da corridore, le serviranno

Ad un certo punto, la lumachina inizia a muoversi sull'elastico, puntando all'altra estremità alla folle velocità di, diciamo, un metro all'ora.

Ma contemporaneamente, l'elastico dispettoso inizia ad allungarsi di, diciamo, un metro al secondo.

Riuscirà la povera lumachina a raggiungere l'altra estremità dell'elastico? L'intuizione parrebbe dire di no, dato che lei si muove leeeeenta leeeenta e la punta dell'elastico le sfugge veloce veloce. La matematica invece ci dice che la lumaca è destinata a raggiungere l'agognata meta. Senza stare a fare i calcoli su quanto veramente ci mette, quale ragionamento ci permette di affermare questo?

Io invece vi propongo questo: Dio onnipotente può creare un masso tanto grande che neanche Lui riesce a sollevare?

L'unica possibile soluzione di questo paradosso è che Dio non esista. MA qui stiamo attenti o arriva Gio e ci manda il topic in litigio

Non ho capito se la domanda era seria o ironica, ma provo a rispondere seriamente.

Nel paradosso di Zenone non si parla di passi. Il paradosso afferma che nel tempo t che Achille impiega a raggiungere il punto in cui si trovava la tartaruga al momento t0, la tartaruga ha comunque avuto modo di avanzare di uno spazio pari a t*v, dove v è la velocità, piccola ma non nulla, della tartaruga.

Il paradosso funziona (o meglio, sembra funzionare, finché non si tirano in ballo le serie infinite che possono dare un risultato finito) se il movimento di entrambi, Achille e Tartaruga, è considerato come completamente uniforme e continuo, e non a "scatti" o "passi".

Come è noto, il paradosso si risolve dimostrando che la sommatoria sum (i=1 to infinito) 1/n^1 con n>1 è una serie convergente, ossia tende ad un valore finito.
Il tempo impiegato da Achille a raggiungere la tartaruga si calcola proprio con una sommatoria di questo tipo, e quindi non è infinito.

Per curiosità, se pensate che il paradosso di Achille e la tartaruga sia complicato, non avete mai sentito quello della lumaca sull'elastico :o

azz... io stesso laureato in filosofia non avrei saputo spiegarlo meglio! complimenti briggì!

che ci guadagnava Zenone? beh innanzitutto difendeva il suo maestro Parmenide...

Ogni volta che mi rendo conto che un tipaccio da taverna come Andrea87 si è laureato in filosofia mi viene voglia di morire.

Probabilmente pkthebest vuole ricostruire la sua immagine intellettuale*, dopo le esibizioni nel topic delle barzellette, e non sarò certo io a dissuaderlo, però qualche precisazione è necessaria, pima che intervenga qualche matematico ad aggravare la situazione.

omissis
Insomma, Zenone fu il primo a capire che 2 = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 ecc, sino all'infinito, e da qui lode matematica, secondo alcuni.

E' facile vedere che già 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 è maggiore di 2 (infatti è 2+¹/₁₂). Infatti la serie armonica, cioè la serie dei reciproci dei numeri reali, ha somma infinita, il che, in termini matematici moderni, vuol dire che, scelto da voi un numero , per quanto grande, si può calcolare il numero dei termini della serie armonica che sommati danno un risultato maggiore del numero che avete scelto (vi assicuro che questa spiegazione è più semplice di quella che avreste da un matematico medio).
Il paradosso di Achille e la tartaruga (Zenone non ci pensava affatto a inseguire una tartaruga, come vedremo) è sostanzialmente più sottile: anche se Achille è molto più veloce della tartaruga che parte con un po' di vantaggio, per esempio 10 cubiti , deve percorere innanzitutto metà di questa distanza, poi la metà rimanente (quindi 1/4 di 10 cubiti), poi la metà ancora (1/8 di 10 cubiti) etc, e tutto questo solo per arrivare al punto di partenza della tartaruga, che nel frattempo un pochino più avanti è andata :
Siccome la serie 1/2 + 1/2² + 1/2³ + ... è una serie convergente, e il limite della somma dei suoi termini è 1, Achille riesce giusto a raggiungere il punto di partenza della tartaruga in una serie infinita di passi che si dimezzano ogni volta. Sarebbe il caso di definirla più propriamente una sega matematica.
Zenone però era ancora più sfaticato di un matematico, e non ci pensava affatto ad avviarsi di corsa per quei 10 cubiti: diceva che per arrivare in fondo doveva prima arrivae a metà, ma prima ancora alla metà della metà, e così via, insomma per arrivare in un punto per quanto vicino alla partenza doveva fare comunque un numero infinito di passi, quindi era praticamente impossibile muoversi.

Su, su, coraggio...c' è di peggio

Come è noto, il paradosso si risolve dimostrando che la sommatoria sum (i=1 to infinito) 1/n^1 con n>1 è una serie convergente, ossia tende ad un valore finito.
 

Giusto per la precisione: immagino che tu intendessi scrivere
sum (i=1 to infinito) 1/n^i con n>1
cioe' la serie geometrica. Cosi' come l'hai scritta, e' di nuovo la serie armonica, che, come spiegato da Hon-ki-ton, non converge.

in una serie infinita di passi che si dimezzano ogni volta.

Se ben ricordo, non e' Achille che dimezza la lunghezza dei suoi passi, bensi Zenone che calcola la distanza percorsa da Achille (che corre a velocita' costante) in unita' di tempo ognuna la meta' della precedente.

  Per quanto ne capisco, il punto fondamentale del paradosso di Zenone riguarda la delicata questioni dei modelli concettuali che possiamo costruire del mondo fisico (in genere, tramite la matematica, vista la poverta' degli altri mezzi a nostra disposizione).
  Zenone costruisce un modello dove il movimento e' impossibile, perche' assume di poter dividere infinitamente il tempo in unita' sempre piu' piccole, ma non accetta la possibilita' di convergenza di una serie infinita. Il modello usato nei corsi elementari di fisica si basa sui numeri cosiddetti "reali", una  costruzione, raffinata dai matematici in qualche secolo di lavoro, dove un calcolo banale permette di vedere che la serie converge risolvendo il paradosso. Non mi e' chiaro quanto questo modello sia compatibile con la fisica quantistica (dove, per quanto mi sembra di capire, non ha molto senso dividere all'infinito): so vagamente che negli ultimi venti o trent'anni e' stato proposto l'uso di modelli matematici "non del tutto archimedei" (si noti che in un modello non-archimedeo non e' detto che una serie come 1/2+1/4+1/8+1/16+... converga ad un valore finito; cosi' com'e' non e' detto che 2+4+8+16+... abbia un valore infinito).

Sulla questione della lumaca e dell'elastico,

Senza stare a fare i calcoli su quanto veramente ci mette, quale ragionamento ci permette di affermare questo?

Di primo acchito avevo pensato ad uno dei "paradossi" che si risolvono confrontando valori "infiniti", tipo l'albergo di Hilbert. Ma pensandoci meglio direi che e' un problemino di altro tipo, dove la reale difficolta' e' di tipo psicologico - cioe', siamo tentati di fare i conti con un modello sbagliato (l'allungarsi dell'elastico non e' uniforme su tutta la sua lunghezza), mentre quello corretto prevede che quando l'elastico si allunga anche il punto dove sta la lumaca si allontana dall'estremo fissato al muro. Quindi si tratterebbe di un grazioso esempio di  relativita' galileiana; non ho voglia di fare il calcolo, ma con quest'impostazione non mi e' difficile credere che la lumachina possa raggiungere l'altro estremo dell'elastico.

Dio onnipotente può creare un masso tanto grande che neanche Lui riesce a sollevare?
L'unica possibile soluzione di questo paradosso è che Dio non esista

Mi sembra che il punto sia semplicemente che il termine "onnipotente" non e' ben definito: questo paradosso ci mostra la cautela con cui dobbiamo usare le parole; Bertrand Russel ci aveva gia' insegnato qualcosa in proposito. Quanto a Dio, suppongo che debba esistere in quanto "Dio e' un sistema dinamico non-archimedeo" (non ho resistito alla tentazione di citare il titolo d'un capitolo d'un libro che avevo sfogliato brevemente anni fa: appunto uno di quei testi in cui si propone l'uso in fisica dei numeri non-archimedei, cui accennavo sopra).
  Personalmente avevo incontrato per la prima volta una versione di questo paradosso  sull'onnipotenza in qualche storia pippesca (una di quelle conferenze di un Pippo in tocco e toga di fronte ad un pubblico di pippidi); naturalmente li' il termine "Dio" era stato sostituito (mi sembra rimpiazzato da "uno stregone indiano che puo' tutto").

Il paradosso di Achille e la tartaruga (Zenone non ci pensava affatto a inseguire una tartaruga, come vedremo) è sostanzialmente più sottile: anche se Achille è molto più veloce della tartaruga che parte con un po' di vantaggio, per esempio 10 cubiti , deve percorrere innanzitutto metà di questa distanza, poi la metà rimanente (quindi 1/4 di 10 cubiti), poi la metà ancora (1/8 di 10 cubiti) etc, e tutto questo solo per arrivare al punto di partenza della tartaruga, che nel frattempo un pochino più avanti è andata :

Presentata così, il povero Achille non ha neppure bisogno della tartaruga per ficcarsi nei guai! In realtà il paradosso, per come lo conoscevo io, è leggermente diverso, ma cambia poco, perché il calcolo matematico risultante alla fine è analogo.

Giusto per la precisione: immagino che tu intendessi scrivere
sum (i=1 to infinito) 1/n^i con n>1
cioe' la serie geometrica. Cosi' come l'hai scritta, e' di nuovo la serie armonica, che, come spiegato da Hon-ki-ton, non converge.

Sì, era quello che intendevo. Mi sono accorta della svista solo un attimo prima di leggere il tuo messaggio [

Sulla questione della lumaca e dell'elastico,
Di primo acchito avevo pensato ad uno dei "paradossi" che si risolvono confrontando valori "infiniti", tipo l'albergo di Hilbert. Ma pensandoci meglio direi che e' un problemino di altro tipo, dove la reale difficolta' e' di tipo psicologico - cioe', siamo tentati di fare i conti con un modello sbagliato (l'allungarsi dell'elastico non e' uniforme su tutta la sua lunghezza), mentre quello corretto prevede che quando l'elastico si allunga anche il punto dove sta la lumaca si allontana dall'estremo fissato al muro. Quindi si tratterebbe di un grazioso esempio di  relativita' galileiana; non ho voglia di fare il calcolo, ma con quest'impostazione non mi e' difficile credere che la lumachina possa raggiungere l'altro estremo dell'elastico.

Hai centrato il punto. Se l'estremità dell'elastico si muove a velocità x, il punto centrale dello stesso si muove a x/2, il punto a 3/4 si muone a 3/4 x eccetera, in pratica ogni punto dell'elastico è tanto più veloce quanto più è lontano dall'estremità fissa. Quindi la lumaca, via via che avanza lungo l'elastico, si sposta verso punti con velocità maggiore e quindi aumenta la propria velocità anch'essa. Si muove quindi di moto accelerato, mentre quello dell'estremità che cerca di raggiungere è costante. E un moto accelerato, per quanto inizialmente lento, finirà sempre per raggiungere un moto costante, e pertanto prima o poi la lumaca raggiungerà la punta dell'elastico.

Il calcolo effettivo che permette di dire QUANTO ci mette, confesso di aver provato molte volte a farlo, ma mi sono sempre incriccata dopo tre pagine fitte fitte di calcoli [

Anzi se ci fosse qualche matematico che mi sa esporre la soluzione, magari anche mandandomela in privato, sarebbe cosa assai gradita.

 

Mi sembra che il punto sia semplicemente che il termine "onnipotente" non e' ben definito: questo paradosso ci mostra la cautela con cui dobbiamo usare le parole;

Per dirla come la diceva un mio professore del primo anno di università, "tutte le discussioni finiscono in semantica"