Un elastico è lungo 1m ed è fissato ad una estremità, mentre l'altra è libera di muoversi.
Nell’ estremità fissata c'è una lumaca che comincia a muoversi all’istante t0 0 con una velocità che essa percepisce di 1m h .
L'estremità libera dell'elastico si muove alla velocità costante di 1 m al minuto 1m s , contemporaneamente al moto della lumaca.
Supponendo che i due movimenti inizino nello stesso istante, riuscirà la lumaca a raggiungere la fine dell'elastico? Se sì, quanto tempo impiegherà per farlo?
Scegliamo un riferimento cartesiano contenuto nel piano determinato dal punto fisso dell'elastico e dal vettore velocità dell'estremità libera, con origine O nel punto fisso dell'elastico (estremo A) e semiasse positivo delle ascisse contenente l'estremità
libera B dell'elastico, e diamo per ipotesi, per semplificare i calcoli, che l’elastico si trovi e resti sull’asse delle x (anche se non lo dovesse essere il risultato sarà dello stesso tipo di quello che si ottiene con questa ipotesi).
Conosciamo
1. la lunghezza iniziale dell'elastico Lo=1m
2. la velocità dell'estremità libera dell'elastico v EL 1m/s
3. la velocità della lumaca v LU=1 m/h= 1 fratto 3600 m/s = 2,7 x 10 elevato alla meno quattro m/s
La distanza all’istante t dell’estremo mobile dall’estremo fisso dell'elastico (che possiamo chiamare L (t) ) è data da:
L(t) = Lo + Vel x t= 1 m +1 (m/s)t= (1+t)m
La lumaca, poiché si trova sopra l’elastico, osservando dall’esterno del sistema, essa si muove con velocità assoluta Vlu (velocità lumaca)= 2,7 x 10 alla meno 4 m s una componente di velocità dovuta all’ allungamento simultaneo dell’elastico poiché viene trascinata dall’elastico mentre questo si tende.
Quindi la velocità assoluta (osservata dall’esterno dell’elastico) della lumaca rispetto all’estremo fisso A mentre si muove sull’elastico per un punto P dell’elastico è:
Vlu= 2,7 x 10 alla meno 4 m/s+ vP
dove vP è la velocità assoluta del punto P (dell’elastico).
Si deve tener conto che ogni punto dell’elastico si muove con una velocità che varia da 0 m/s a 1 m/s proporzionalmente con la sua distanza dall’estremo fisso. Indicata con x tale distanza e L la lunghezza raggiunta dall’elastico, il punto P si muove con velocità:
vP= 1 per (x(t) fratto L(t))=x(t) fratto Lo + t=x(t) fratto 1+t
Quindi la strada percorsa dalla lumaca dall’estremo A è ricavabile dall’equazione:
V assoluta Lumaca= 2,7 x 10 alla meno 4 m/s + (x(t) fratto 1+t)
La velocità assoluta della lumachina dipende dallo spazio percorso ed è la derivata nel tempo di tale spazio percorso. Questo si scrive come:
V assoluta Lumaca = dx fratto dt = x'
E l’equazione diventa: x' (t)= 2,7 x 10 alla meno 4 + (xt fratto 1+t) che è un’equazione differenziale, ossia ha per incognita una funzione che è proprio x (t) .
x(t)= Sommatoria con apice t e in basso 0 di (2,t x 10 alla meno 4 + (xt fratto 1+t)dt= 2,7 x 10 alla meno 4(1+t)In(1+t).
La formica quindi si avvicina sempre più all’estremo fisso e lo raggiunge quando
t+1= (t+1 fratto3600)In(t+1) ovvero quando In(t+1)=3600.
Questa è una semplice equazione logaritmica: 1 + t = e elevato a 3600 (dove e è il numero di Nepero) e quindi t=(e elevato a 3600 meno 1) secondi.
Il numero che viene fuori è un numero elevatissimo , ma questo significa fondamentalmente che dopo e elevato a 3600 meno 1 secondi la lumaca avrà raggiunto l’altro estremo dell’elastico.
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